| Autor | |||
|---|---|---|---|
| Jméno | Jaroslav | Příjmení | Beránek |
| Škola/Pracoviště | |||
| Název | Pedagogická fakulta MU | Adresa | Poříčí 7 |
| Město | Brno | PSČ | 603 00 |
| Příspěvek | |||
| Nadpis | Kvadratické rovnice známé i neznámé | Autoři | - |
| Pracoviště | Katedra matematiky PdF MU Brno | Forma | Přednáška |
| Abstrakt | KVADRATICKÉ ROVNICE ZNÁMÉ I NEZNÁMÉ JAROSLAV BERÁNEK Katedra matematiky PdF MU Poříčí 7, 603 00 Brno beranek@ped.muni.cz Obsahem příspěvku jsou kvadratické rovnice a některé zajímavosti okolo nich. Motivací k jeho vytvoření je fakt, že ačkoliv problematika kvadratických rovnic se na první pohled jeví jako zcela prozkoumaná a ve všech učebnicích matematiky středních škol velmi podrobně popsaná, neustále je možno nacházet různé zajímavosti, které se řešení kvadratických rovnic dotýkají. Tyto doplňky přitom nejsou příliš vzdáleny od osnov školské matematiky a proto je lze využít i pro samostatnou činnost studentů v rámci problémové výuky (viz např. [3]). Student, který si takto „zahraje“ na objevitele a samostatně zformuluje, případně dokáže některé matematické tvrzení (byť pro vyšší matematiku takřka bezvýznamné a nikoliv původní), má ze svého výsledku radost a je účinně motivován k dalšímu studiu matematiky. Podobným způsobem je možné matematiku účinně popularizovat, aby nebyla její znalost redukována na pamětnou znalost pouček a vzorců, což je názor na veřejnosti dosti častý. První zajímavou otázkou je pohled na historický vývoj formulace a řešení kvadratických rovnic. Tímto problémem se zde není možno podrobně zabývat; poznamenejme jen, že kvadratické rovnice znali již staří Babyloňané. Řešili je pravděpodobně doplněním na druhou mocninu dvojčlenu (tato úprava má význam i v současnosti). Řečtí matematikové řešili různé geometrické problémy, které vedly ke kvadratickým rovnicím, např. stanovení délky úhlopříčky čtverce. Také tato otázka může mít pro žáky silný motivační náboj, neboť tehdejší zjištění, že strana a úhlopříčka čtverce jsou nesouměřitelné, vedlo mj. k pozdějším úvahám o existenci iracionálních čísel. Značných úspěchů při řešení kvadratických rovnic dosáhli rovněž indičtí matematikové, např. Brahmagupta, Mahavíra a Bháskara, stejně jako arabský matematik Al Chovaresmí. Po tomto krátkém historickém úvodu následuje stručný přehled teorie k problematice obecného řešení kvadratických rovnic. Kromě všeobecně známého vztahu pro určení kořenů je uveden (včetně odvození) méně známý ekvivalentní vztah, obsahující odmocninu z diskriminantu ve jmenovateli, který se k praktickému výpočtu neužívá zřejmě mj. proto, že při výpočtu je nutné u obou kořenů odstranit tuto odmocninu ze jmenovatele zlomku. Dále je v příspěvku zmíněna i úprava kvadratického trojčlenu na úplný čtverec a na příkladu neurčitého integrálu ukázáno její nejčastější využití. Dalším problémem, kterému se příspěvek věnuje, je otázka řešení kvadratické rovnice s komplexními koeficienty. Mnoho studentů středních, ale i vysokých škol, zaváhá s odpovědí na otázku, zda platí běžně známý vzorec i pro kvadratické rovnice s koeficienty komplexními; pokud již správně odpovědí, že platí, pak většinou nedovedou tento fakt zdůvodnit. V příspěvku je popsáno řešení kvadratické rovnice s komplexními koeficienty a je dokázáno (viz [1]), že i v tomto případě vztah pro výpočet kořenů platí. Současně je demonstrováno, že i v případě, kdy pohlížíme na reálné koeficienty jako na komplexní čísla a využijeme odvozenou teorii pro komplexní koeficienty, nic se na podstatě řešení nemění. Další část příspěvku je věnována vztahům mezi kořeny a koeficienty kvadratické rovnice a jejich využití, a to i vztahům prakticky neznámým. Studenti běžně umějí využít tzv. Viètovy vztahy pro určení kořenů kvadratické rovnice. Lze je však využít i ve složitějších úlohách. Pomocí symetrických polynomů a Viètových vztahů lze obdržet např. vzorce pro výpočet součtů mocnin kořenů kvadratické rovnice. V příspěvku jsou tyto vzorce uvedeny pro druhé, třetí a čtvrté mocniny. Dále jsou v příspěvku dokázána dvě méně známá tvrzení, obsahující jisté vztahy mezi kořeny a koeficienty kvadratické rovnice. Tvrzení 1: Nechť ve kvadratické rovnici s běžným označením (tj. a je koeficient u kvadratického členu nebo též vedoucí koeficient, b je koeficient u lineárního členu a c je absolutní člen) jsou všechny koeficienty a, b, c lichá celá čísla. Pak daná kvadratická rovnice nemá celočíselné ani racionální kořeny. Tvrzení 2: Nechť je dána kvadratická rovnice (opět s běžným označením jako výše), pro kterou žádný z koeficientů a, b, c není roven nule. Pak pro kořeny u, v platí: (1) u = 1 , v = c : a, právě když platí a + b + c = 0, (2) u = - 1, v = -(c : a), právě když platí a - b + c = 0. Právě dokázaná tvrzení poskytují pro studenty náměty pro jejich samostatnou práci. Lze např. zkoumat, zda i v případě jiných vazebních podmínek pro koeficienty kvadratické rovnice platí nějaké analogické vztahy pro její kořeny. I když uvedená tvrzení o kvadratické rovnici nejsou z matematického hlediska nijak mimořádně významná, má smysl se těmito a podobnými problémy zabývat např. při výchově budoucích učitelů matematiky. Zde nejde jen o čistě matematický význam dokazovaných tvrzení či o to, zda jsou původní. Cílem by mělo být poskytovat budoucím učitelům matematiky (ale nejen jim, ale studentům středních i vysokých škol obecně) dostatek témat a problémů k samostatnému řešení a tím přispívat k popularizaci matematiky mezi nimi. LITERATURA 1. Calda, E.: Matematika pro gymnázia - komplexní čísla. Praha: 2001, Prometheus. ISBN 80-7196-187-6. 2. Dinh Công Vu: Poznámka o kořenech úplné kvadratické rovnice. Rozhledy matematicko-fyzikální 52 (1973-74), s. 445-446. 3. Hejný, M., a kol.: Teória vyučovania matematiky 2. Bratislava: 1989, SPN. ISBN 80-08-01344-3. 4. Horák, P.: Polynomy. Brno: UJEP Brno (učební text), 1978, 128 s., ISBN 55-033-78. 5. Larson, L. C.: Metódy riešenia matematických problémov. Bratislava: 1990, Alfa. ISBN 80-05-00627-6. 6. Weisstein, Eric.W.: Quadratic equation. From MathWorld – A Wolfram Web Resource. http://mathworld.wolfram.com/Quadratic.Equation.html. Citováno 22. 9. 2008. |
||
| Přílohy | |||
| Příloha 1 | Příloha 2 | ||
| Příloha 3 | Příloha 4 | ||
| Info | |||
| Změněno | 06.10.2008 11:25 | Vytvořeno | 06.10.2008 11:25 |
